In diesem Video wollen wir nochmal kurz in Erinnerung rufen, was ein gewöhnliches

Differentialgleichungssystem MTA-Ordnung ist und im Speziellen, was wir unter einer gewöhnlichen

Differentialgleichung verstehen, denn dies wird die Grundlage sein für unsere mathematische

Analysis für kontinuierliche dynamische Systeme. Das heißt, wir werden am Anfang die Definition

eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems wiederholen. Das war zuletzt in Kapitel 8 der

Vorlesungen im letzten Semester. Gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Na, er will nicht.

Was haben wir unter einer gewöhnlichen Differentialgleichung oder einem Differentialgleichungssystem

verstanden? Wir machen es jetzt in der allgemeinsten Form zuerst, werden uns dann aber später auf

Spezialfälle, die wesentlich einfacher sind, konzentrieren. Das heißt, wir wählen zuerst

einmal zwei Variablen N und M. Die werden uns angeben, um wie viele Gleichungen es sich handelt

und in welchem Vektorraum das Ganze stattfindet. Das heißt, wir wählen zunächst zwei Variablen

N und M und wir betrachten im Folgenden eine offene Teilmenge, auf der die Differentialgleichung

lebt. Eine offene Teilmenge, die wollen wir im Folgenden immer mit U bezeichnen, so eine

Umgebung U. Und im Endeffekt würden wir jetzt sagen, wir haben eine Differentialgleichung

mit Werten im R hoch N. Da wir aber nicht nur eine gewöhnliche Differentialgleichung

mit Werten im R hoch N betrachten, sondern im allgemeinen Fall ein Differentialgleichungssystem

von M-Gleichungen, werden wir sagen, okay, das Ganze U, diese Umgebung, auf der alles

definiert ist, lebt in einem System von Größe M plus 1. Und das Ganze kann man sich im Prinzip

so vorstellen, dass man R hoch N Kreuz, R hoch N Kreuz und so weiter und das Ganze M

plus 1 mal macht. Das ist sozusagen die Definitionsumgebung für unser Differentialgleichungssystem. Und

zusätzlich betrachten wir noch ein offenes Intervall für unsere unabhängige Variable.

Also bei der Umgebung U handelt es sich im Prinzip um den Definitionsbereich der unbekannten

Funktion, die wir mal Y genannt haben. Und wir brauchen aber auch noch für unsere Funktionsargument

X einen Definitionsbereich, das wird das offene Intervall I sein. Das bezeichnen wir wie folgt.

Und I sei hier einfach eine Teilmenge von R. Später werden wir das Ganze ein bisschen

einschränken. Wenn wir zeitabhängige Differentialgleichungen betrachten, dann werden wir typischerweise

nur nicht negative reelle Zahlen zulassen und keine negativen Zeiten. Dann würden wir

das Ganze auf R Null plus einschränken. Um zu definieren, was ein Differentialgleichungssystem

ist, brauchen wir auch eine Funktion. Das ist immer die rechte Seite der Differentialgleichung.

Also je nachdem, wie man schreibt. Und die lebt natürlich auf diesem Definitionsbereich.

Und die Funktion wollen wir im Folgenden immer F nennen. Die hat als Funktionsargumente einmal

die unabhängige Variable X. Das heißt, das lebt auf I. Und die hat natürlich auch für

die unbekannte Funktion Y sämtliche Werte. Das heißt, wir müssen jetzt Wert aus U nehmen.

Und wir sagen, das Ganze soll abbilden in den R hoch N. Damit das sinnvoll ist. Und was

fordern wir von der Funktion? Die muss zumindest erst mal stetig sein. Wenn Sie sich erinnern

an das, was wir zu Differentialgleichungen uns angeschaut haben im letzten Semester, da

war Stetigkeit eine wichtige Voraussetzung. Ja, das sind all die Voraussetzungen, die

wir brauchen. Jetzt können wir formulieren, was wir verstehen unter einem gewöhnlichen

Differentialgleichungssystem. Dann nennen wir folgende Gleichung ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Nämlich, wir schreiben es jetzt erst mal in der impliziten Form, F von dem unabhängigen

Argument X, dann der unbekannten Funktion Y von X, Y Strich von X und so weiter, bis

zur empten Ordnung. Das ist die Ableitung, die uns interessiert. Also Y in Klammern

hoch M von X gleich Null. Das nennen wir ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem

m.ter Ordnung. Wir werden das Ganze auch manchmal abgekürzt schreiben

y-Strich bis y hoch m Klammer zu gleich nun da davon nicht vergessen dass die

Funktionen y natürlich immer vom Argument x abhängt nur aus Notationsgründen wird

das manchmal unterschlagen. Genau, dann nennen wir solche eine Gleichung ein

gewöhnliches, vielleicht schauen wir das direkt in rot, gewöhnliches Differential-Gleichungssystem

System mter Ordnung. Ja, wir gehen bis zur mter Ableitung.

Naja, und wie kommen wir dann zu einer einfachen gewöhnlichen Differential-Gleichung, indem wir